2021年考研数学一试题真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，可导的函数是（ ）
A. $f(x)=|x|$ B. $f(x)=x^3$ C. $f(x)=\sqrt{x}$ D. $f(x)=\frac{1}{x}$
【解析】选项A，函数$f(x)=|x|$在$x=0$处不可导；选项B，函数$f(x)=x^3$在定义域内可导；选项C，函数$f(x)=\sqrt{x}$在$x=0$处不可导；选项D，函数$f(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处不可导。故正确答案为B。
2. 设$f(x)=x^3-3x^2+4$，则$f''(x)=\frac{1}{2}$的解集是（ ）
A. $\{x|1\leq x\leq 2\}$ B. $\{x|1\leq x\leq 2\}$ C. $\{x|1\leq x\leq 2\}$ D. $\{x|1\leq x\leq 2\}$
【解析】首先求出$f(x)$的一阶导数$f'(x)=3x^2-6x$，然后求出$f(x)$的二阶导数$f''(x)=6x-6$。令$f''(x)=\frac{1}{2}$，解得$x=\frac{2}{3}$。所以解集为$\{x|\frac{2}{3}\leq x\leq 2\}$。故正确答案为D。
二、填空题
1. 设$f(x)=e^x\sin x$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(e^x\sin x)=\frac{d}{dx}(e^x)\sin x+e^x\frac{d}{dx}(\sin x)=e^x\sin x+e^x\cos x=\boxed{e^x(\sin x+\cos x)}$。
2. 设$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{x^2+1}\right)=\frac{(x^2+1)\frac{d}{dx}(x)-x\frac{d}{dx}(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}=\boxed{-\frac{x^2-1}{(x^2+1)^2}}$。
三、解答题
1. 设$f(x)=\ln(x^2+1)$，求$f'(x)$。
【解析】$f'(x)=\frac{d}{dx}\ln(x^2+1)=\frac{1}{x^2+1}\cdot\frac{d}{dx}(x^2+1)=\frac{1}{x^2+1}\cdot 2x=\boxed{\frac{2x}{x^2+1}}$。
2. 设$f(x)=x^3-3x^2+4$，求$f'(x)$和$f''(x)$。
【解析】$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x^2+4)=3x^2-6x$，$f''(x)=\frac{d}{dx}(3x^2-6x)=6x-6$。故$f'(x)=3x^2-6x$，$f''(x)=6x-6$。
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