在备战考研的征途上，三重积分的大题真题无疑是检验数学能力的一大难关。以下是一份精心挑选的三重积分大题真题解析，助你一臂之力：
1. 题目重现：
设函数 \( f(x, y, z) = x^2y + yz^2 \)，求由曲面 \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \) （球面）和 \( x + y + z = 1 \) （平面）所围成的立体的体积。
2. 解题思路：
首先，确定积分区域 \( D \) 为球面与平面的交集。通过观察，我们可以选择先对 \( z \) 进行积分，再对 \( y \) 积分，最后对 \( x \) 积分。
3. 具体步骤：
- 对 \( z \) 积分：\( z \) 的取值范围从 \( 1 - x - y \) 到 \( \sqrt{1 - x^2 - y^2} \)。
- 对 \( y \) 积分：\( y \) 的取值范围从 \( 0 \) 到 \( \sqrt{1 - x^2} \)。
- 对 \( x \) 积分：\( x \) 的取值范围从 \( 0 \) 到 \( 1 \)。
根据积分顺序，计算三重积分 \( \iiint_D f(x, y, z) \, dV \)。
4. 答案解析：
经过计算，得到该立体的体积为 \( \frac{\pi}{6} \)。
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