在2021年的考研数学中，极限计算题一直是考生们关注的重点。以下是一道典型的极限计算题目：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x^2}$。
解题过程如下：
首先，我们可以利用泰勒公式将 $\sin(2x)$ 和 $\sin(x)$ 展开到 $x^2$ 的阶数：
$$\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3)$$
$$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$$
将上述展开式代入原极限表达式中，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{(2x - \frac{(2x)^3}{6} + o(x^3)) - (x - \frac{x^3}{6} + o(x^3))}{x^2}$$
化简上式，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \frac{7x^3}{6} + o(x^3)}{x^2}$$
接下来，我们可以对分子进行因式分解：
$$\lim_{x \to 0} \frac{x(1 - \frac{7x^2}{6} + o(x^2))}{x^2}$$
由于当 $x \to 0$ 时，$o(x^2)$ 的高阶无穷小可以忽略，因此上式可进一步化简为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{7x^2}{6}}{x}$$
最后，对上式进行求导，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{7x}{6} = 1 - 0 = 1$$
因此，原极限的值为 $1$。
【考研刷题通】微信小程序，为你提供海量考研刷题资源，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目。助你轻松备战，高效提升！立即加入我们，开启你的考研之路！