考研数学真题详细答案如下：
1. 选择题：
- 题目：求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的极值点。
- 答案：通过求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) 并令其为零，解得 \( x = \pm 1 \)。检验导数的符号变化，得出在 \( x = -1 \) 处取得极大值 \( f(-1) = 4 \)，在 \( x = 1 \) 处取得极小值 \( f(1) = 0 \)。
2. 填空题：
- 题目：已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 的值为？
- 答案：由洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = -\frac{1}{2} \)。
3. 解答题：
- 题目：证明 \( \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{2} \)。
- 答案：利用三角换元法，令 \( x = \sin \theta \)，则 \( dx = \cos \theta \, d\theta \)，积分变为 \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta} \, d\theta = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2} \)。
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