2019年数二考研真题答案解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x) = x^2$
B. $f(x) = |x|$
C. $f(x) = \sqrt{x}$
D. $f(x) = \frac{1}{x}$
答案：A
2. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(1) = \left( \frac{1}{2} \right)^{-1} = 2$。
答案：2
3. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$。
答案：a
4. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
答案：3x^2 - 6x + 4
5. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x) = e^x$。
答案：e^x
二、填空题
1. 设$f(x) = x^2$，则$f'(x) = 2x$。
答案：2x
2. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(1) = 1$。
答案：1
3. 设$f(x) = e^x$，则$f''(x) = e^x$。
答案：e^x
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
解：由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1$。
2. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的导数。
解：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
3. 求函数$f(x) = e^x$的二阶导数。
解：$f''(x) = e^x$。
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