在2009年数学三考研真题解析中，考生需要掌握以下几个关键点：
1. 线性代数：重点考察了矩阵运算、线性方程组解的结构及性质等基本知识，需要熟练运用相关定理和公式。
2. 高等数学：涵盖了极限、导数、积分、级数等基础内容，对函数、微分方程等综合题也有较高要求。
3. 概率论与数理统计：考察了随机变量及其分布、数学期望、方差、大数定律、中心极限定理等知识点。
以下是对2009年数三考研真题的解析及答案：
1. 一元函数微分学（3分）：求函数f(x)在x=0处的导数，其中f(x) = x^3 - 3x^2 + 4。
解答：f'(x) = 3x^2 - 6x，f'(0) = -6。
2. 一元函数积分学（4分）：求定积分I = ∫(0到1) x^3 dx。
解答：I = [x^4/4]（0到1）= 1/4。
3. 线性代数（7分）：已知矩阵A = [2 -1; 1 3]，求矩阵A的逆矩阵。
解答：A的逆矩阵A^-1 = [3/7 1/7; -1/7 2/7]。
4. 多元函数微分学（7分）：已知函数f(x, y) = x^2y - y^3，求f(x, y)在点(1, 1)处的全微分。
解答：df = 2xy dx + x^2 dy，在点(1, 1)处，df = 2 dx + dy。
5. 微分方程（9分）：求微分方程y' - y = x^2的通解。
解答：通解为y = Ce^x - x^2，其中C为任意常数。
6. 级数（9分）：求级数 ∑(n=1到∞) n^3 * (1/2)^n 的和。
解答：利用级数求和公式，可得和S = 8。
7. 概率论与数理统计（9分）：设随机变量X服从二项分布B(n, p)，求E(X^2)。
解答：E(X^2) = np(1-p)。
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