2014年考研数学二第三题：设函数\( f(x) = \ln(1+x) \)，其中\( x \in [-1, 1] \)。证明：\( f(x) \)在区间\([-1, 1]\)内存在零点。
解析：
首先，我们可以发现\( f(0) = \ln(1+0) = 0 \)，所以\( x=0 \)是\( f(x) \)的一个零点。接下来，我们需要证明在区间\([-1, 1]\)内不存在其他的零点。
首先证明\( f(x) \)在区间\([-1, 1]\)内单调递增。对于任意\( x_1, x_2 \in [-1, 1] \)，且\( x_1 < x_2 \)，我们有：
\[ f'(x) = \frac{1}{1+x} \]
由于\( 1+x \)在区间\([-1, 1]\)内是正数，因此\( f'(x) > 0 \)。所以\( f(x) \)在区间\([-1, 1]\)内是单调递增的。
由于\( f(x) \)在区间\([-1, 1]\)内单调递增，并且\( f(0) = 0 \)，那么对于任意的\( x \in (-1, 1) \)，我们有\( f(x) > 0 \)。因此，\( f(x) \)在区间\([-1, 1]\)内不存在零点。
综上所述，\( f(x) = \ln(1+x) \)在区间\([-1, 1]\)内仅存在一个零点，即\( x = 0 \)。
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