在2023年的考研数学中，一道典型的极限题目如下：
题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x) - \sin(x)}{x^2}$。
解题步骤：
1. 观察到这是一个“$\frac{0}{0}$”型未定式，可以使用洛必达法则或等价无穷小替换法。
2. 使用等价无穷小替换法，由于当$x \to 0$时，$\sin(3x) \approx 3x$和$\sin(x) \approx x$，所以原式可以转化为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{3x - x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x^2}.$$
3. 简化得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{2}{x}.$$
4. 由于$x \to 0$时，分母趋近于0，分子为常数2，所以极限不存在。
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