在2025年考研数三的最后一题中，考生们面临的是一道综合运用高等数学知识的难题。题目要求考生通过分析函数的极限与连续性，解决一个涉及级数收敛性的问题。以下是解题思路：
1. 分析函数性质：首先，需要确定给定函数在特定区间内的连续性和可导性。
2. 求解极限：利用洛必达法则或泰勒展开等方法，求解函数在特定点的极限。
3. 级数收敛性：根据级数收敛的必要条件，判断给定的级数是否收敛，并给出收敛半径。
4. 综合应用：将上述步骤结合起来，得出最终结论。
解题过程示例：
设函数 \( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)，求 \( \lim_{x \to 0} f(x) \)。
解：由于 \( \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \) 且 \( \lim_{x \to 0} x = 0 \)，根据洛必达法则，有
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \cos 0 = 1. \]
接下来，分析级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 的收敛性。
解：由 \( p \)-级数收敛判别法，当 \( p > 1 \) 时，级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) 收敛。因此，\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 收敛，其收敛半径为 \( R = \infty \)。
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