2022年考研数学二试卷解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的函数是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \sqrt{x} \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = e^x \)
答案：D
解析：选项A在\( x = 0 \)处不连续；选项B在\( x = 0 \)处不连续；选项C在\( x = 0 \)处不连续；选项D在实数域内连续且可导。
2. 设\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，则\( f'(1) \)的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：B
解析：\( f'(x) = 6x - 2 \)，代入\( x = 1 \)得\( f'(1) = 4 \)。
3. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \)的值为（ ）
A. 2
B. 4
C. 0
D. 不存在
答案：B
解析：由\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)可知，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \)，因此\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2 \)。
二、填空题
4. 设\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，则\( f'(1) \)的值为______。
答案：2
解析：\( f'(x) = \frac{2x}{(x - 1)^2} \)，代入\( x = 1 \)得\( f'(1) = 2 \)。
5. 设\( f(x) = \ln x \)，则\( f''(1) \)的值为______。
答案：-1
解析：\( f'(x) = \frac{1}{x} \)，\( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \)，代入\( x = 1 \)得\( f''(1) = -1 \)。
三、解答题
6. 求函数\( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)的极值。
答案：\( f(x) \)的极大值为\( f(1) = 0 \)，极小值为\( f(-1) = 4 \)。
解析：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令\( f'(x) = 0 \)，得\( x = \pm 1 \)。当\( x < -1 \)时，\( f'(x) < 0 \)；当\( -1 < x < 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)；当\( x > 1 \)时，\( f'(x) > 0 \)。因此，\( x = -1 \)是\( f(x) \)的极大值点，\( x = 1 \)是\( f(x) \)的极小值点。
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