在2020年考研数二真题中，考生们面临了诸多挑战。从微积分到线性代数，从概率论到复变函数，每一道题目都考验着考生的数学功底和解题技巧。以下是几道典型的真题解析：
1. 微积分题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
解析：首先求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。然后计算二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，代入$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$，得$f''(1) = 0$，$f''(\frac{2}{3}) = 0$。因此，$x = 1$和$x = \frac{2}{3}$是极值点，通过计算$f(1) = 1$和$f(\frac{2}{3}) = \frac{7}{27}$，可以得出$f(x)$的极大值为1，极小值为$\frac{7}{27}$。
2. 线性代数题目：求矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的逆矩阵。
解析：首先计算行列式$|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$，由于行列式不为0，矩阵可逆。然后计算伴随矩阵$A^* = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$，最后求逆矩阵$A^{-1} = \frac{1}{|A|}A^* = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
3. 概率论题目：设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，求$P(X = 3)$。
解析：根据泊松分布的概率质量函数，$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，代入$k = 3$和$\lambda$，得$P(X = 3) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^3}{3!} = \frac{\lambda^3}{6e^{\lambda}}$。
4. 复变函数题目：求函数$f(z) = \frac{1}{z^2 + 1}$在单位圆内的极值。
解析：首先求导得$f'(z) = \frac{-2z}{(z^2 + 1)^2}$，令$f'(z) = 0$，解得$z = 0$。然后计算二阶导数$f''(z) = \frac{2(z^2 - 1)}{(z^2 + 1)^3}$，代入$z = 0$，得$f''(0) = -2$。因此，$z = 0$是极值点，通过计算$f(0) = 0$，可以得出$f(z)$在单位圆内的极值为0。
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