在考研数学中，概率论大题往往考察考生对概率分布、随机变量、大数定律和中心极限定理等知识的综合运用能力。以下是一个原创的概率论大题示例：
题目：
某工厂生产的产品合格率服从参数为λ的泊松分布。已知一天内生产的合格产品数X的期望值E(X)为10，求以下问题：
（1）求该工厂一天内生产的不合格产品数的方差D(X)。
（2）若随机抽取3个产品，求其中恰好有2个合格产品的概率。
（3）假设该工厂生产的每个产品在一年内出现故障的概率为0.1，求一年内至少有5个产品出现故障的概率。
解答：
（1）由泊松分布的性质知，E(X) = D(X) = λ。因此，D(X) = 10。
（2）合格产品数X服从泊松分布，其概率质量函数为P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!。所求概率为P(X=2) = (10^2 * e^(-10)) / 2!。
（3）故障产品数Y也服从泊松分布，且E(Y) = λ * 0.1 = 1。所求概率为P(Y≥5) = 1 - P(Y<5) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2) + P(Y=3) + P(Y=4)]。
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