2024年考研数学三真题及答案如下：
一、选择题（每题5分，共10题）
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$
答案：A
3. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在
答案：B
4. 设$y = \sin(x + \cos x)$，则$y'$的值为（ ）
A. $\cos(x + \cos x)$ B. $\sin(x + \cos x)$
C. $\sin(x + \cos x) + \cos(x + \cos x)$ D. $\sin(x + \cos x) - \cos(x + \cos x)$
答案：C
5. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax - ax}{x^3}$的值为（ ）
A. 0 B. $\frac{a}{6}$ C. $\frac{a}{2}$ D. $\frac{a}{3}$
答案：B
6. 设$A$为3阶方阵，且$A^2 = A$，则$A$的秩为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无法确定
答案：A
7. 设$A$为3阶方阵，且$A^3 = A$，则$A$的行列式为（ ）
A. 1 B. 0 C. 不存在 D. 无法确定
答案：A
8. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：C
9. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在
答案：B
10. 设$y = \sin(x + \cos x)$，则$y'$的值为（ ）
A. $\cos(x + \cos x)$ B. $\sin(x + \cos x)$
C. $\sin(x + \cos x) + \cos(x + \cos x)$ D. $\sin(x + \cos x) - \cos(x + \cos x)$
答案：C
二、填空题（每题5分，共10题）
11. 设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0)$的值为______。
答案：-1
12. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为______。
答案：$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
13. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0)$的值为______。
答案：1
14. 设$y = \sin(x + \cos x)$，则$y'$的值为______。
答案：$\cos(x + \cos x)$
15. 设$y = \sin(x + \cos x)$，则$y''$的值为______。
答案：$-\sin(x + \cos x)$
16. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax - ax}{x^3}$的值为______。
答案：$\frac{a}{6}$
17. 设$A$为3阶方阵，且$A^2 = A$，则$A$的秩为______。
答案：1
18. 设$A$为3阶方阵，且$A^3 = A$，则$A$的行列式为______。
答案：1
19. 设$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为______。
答案：3
20. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，则$f'(0)$的值为______。
答案：2
三、解答题（每题20分，共4题）
21. 求函数$f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$的单调区间。
答案：单调递增区间为$(-\infty, -1)$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(-1, 1)$。
22. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。
答案：$\frac{1}{6}$
23. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^2$。
答案：$A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$
24. 设$f(x) = \ln(x^2 + 1)$，求$f'(x)$。
答案：$f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$
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