2021年考研数学一卷第二题，考查了线性代数中的矩阵运算问题。具体题目如下：
设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \)。
解答如下：
首先，计算矩阵 \( A \) 的行列式 \( \det(A) \)：
\[ \det(A) = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2 \]
然后，求出 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \)：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \]
最后，根据伴随矩阵的定义 \( A^* = \det(A)A^{-1} \)，计算 \( A^* \)：
\[ A^* = (-2) \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \]
所以，矩阵 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \) 为 \( \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \)。
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