在紧张激烈的考研备战中，竞赛数学题无疑是一道亮眼的风景线。这类题目不仅考验你的基础知识，更挑战你的思维深度和解决问题的能力。下面，就让我们来挑战一道精选的考研竞赛数学题：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a$，其中$a$为常数。若$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值。
解题思路：首先，我们需要求出$f(x)$的导数$f'(x)$，然后利用极值条件$f'(1) = 0$来求解$a$。
解答过程：
1. 求导数：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 利用极值条件：$f'(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 9 = 0$，解得$f'(1) = 0$。
3. 由于$f(x)$在$x=1$处取得极值，我们需要检查二阶导数$f''(x)$的符号。计算$f''(x) = 6x - 12$，代入$x=1$得$f''(1) = -6$，小于0，说明$x=1$是$f(x)$的极大值点。
4. 因此，$f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + a = 4 + a$是极大值。由于题目未指定极大值或极小值，我们假设$a$使得$f(1)$为极大值。
5. 为了使$f(1)$为极大值，$f(x)$在$x=1$附近应该从增大转为减小。检查$f(0) = a$和$f(2) = 8 - 24 + 18 + a = 2 + a$，发现$f(0) > f(1) > f(2)$，因此$a$的值应该使得$f(1)$是极大值点。
6. 由于$f(1)$是极大值，且$f(0) > f(1)$，所以$a$应该小于0。结合$f(1) = 4 + a$，我们得出$a = -4$。
答案：$a = -4$。
【考研刷题通】——你的考研刷题小助手，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，海量题目等你来挑战，助力你的考研之路一帆风顺！快来体验吧！📚🔍🎓 微信小程序：【考研刷题通】！