2022年考研数学二试题如下：
一、选择题（共20题，每题2分，共40分）
1. 设函数 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$，则 $f'(0)$ 等于（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 不存在
2. 若 $x^2 + y^2 = 1$，则 $x^2y^2$ 的最大值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$ B. 1 C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\sqrt{2}$
3. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 81 D. 72
4. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
5. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x)$ 等于（ ）
A. $e^x$ B. $e^x + x$ C. $e^x - x$ D. $e^x \cdot x$
6. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1)$ 等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 设 $a, b, c$ 是等比数列，若 $abc = 27$，$a + b + c = 12$，则 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 81 D. 72
8. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
9. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x)$ 等于（ ）
A. $e^x$ B. $e^x + x$ C. $e^x - x$ D. $e^x \cdot x$
10. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1)$ 等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 81 D. 72
12. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
13. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x)$ 等于（ ）
A. $e^x$ B. $e^x + x$ C. $e^x - x$ D. $e^x \cdot x$
14. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1)$ 等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
15. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 81 D. 72
16. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
17. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x)$ 等于（ ）
A. $e^x$ B. $e^x + x$ C. $e^x - x$ D. $e^x \cdot x$
18. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1)$ 等于（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
19. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值为（ ）
A. 108 B. 90 C. 81 D. 72
20. 下列函数中，可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \sqrt{x}$ C. $f(x) = \frac{1}{x}$ D. $f(x) = x^2$
二、填空题（共10题，每题2分，共20分）
21. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \quad$
22. $\int 2x^2 dx = \quad$
23. $\frac{d}{dx}(e^x \sin x) = \quad$
24. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2 = \quad$
25. 设 $a, b, c$ 是等比数列，若 $abc = 27$，$a + b + c = 12$，则 $a^2 + b^2 + c^2 = \quad$
26. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x) = \quad$
27. 设 $f(x) = x^3 - 3x + 2$，则 $f'(1) = \quad$
28. 设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，则 $a^2 + b^2 + c^2 = \quad$
29. 设 $a, b, c$ 是等比数列，若 $abc = 27$，$a + b + c = 12$，则 $a^2 + b^2 + c^2 = \quad$
30. 设 $f(x) = e^x$，则 $f'(x) = \quad$
三、解答题（共4题，共80分）
31.（20分）求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$
32.（20分）求不定积分 $\int \frac{2x^2 + 3x + 1}{x^2 + 1} dx$
33.（20分）求定积分 $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx$
34.（20分）设 $a, b, c$ 是等差数列，若 $a + b + c = 12$，$abc = 27$，求 $a^2 + b^2 + c^2$ 的值
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