在考研线性代数复习中，以下是一道典型的例题复盘：
例题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解题步骤：
1. 求特征值：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，得到特征值 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \)。
2. 求特征向量：对于每个特征值，解方程组 \( (A - \lambda I)x = 0 \)，求得对应的特征向量。
具体解答：
1. 求特征值：
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \\ 3 & 4-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(4-\lambda) - 6 = \lambda^2 - 5\lambda - 2 = 0
\]
解得 \( \lambda_1 = -1 \)，\( \lambda_2 = 6 \)。
2. 求特征向量：
- 对于 \( \lambda_1 = -1 \)：
\[
(A - \lambda_1 I)x = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}x = 0
\]
解得特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
- 对于 \( \lambda_2 = 6 \)：
\[
(A - \lambda_2 I)x = \begin{bmatrix} -5 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}x = 0
\]
解得特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
总结：本题通过求解特征值和特征向量，考察了考生对线性代数基本概念和计算方法的掌握程度。
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