2013年数学三考研真题及答案解析如下：
一、选择题（每题5分，共30分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)=\frac{d}{dx}(x^3-3x+2)$的值为：
A. $3x^2-3$
B. $3x^2-2$
C. $3x^2-1$
D. $3x^2$
答案：A
2. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}$的值为：
A. 2
B. 4
C. 1
D. 0
答案：B
3. 设$A$为$3\times 3$矩阵，$|A|=2$，则$|2A|$的值为：
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
答案：C
4. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)$的值为：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
5. 设$z=\sin x\cos y+\cos x\sin y$，则$\frac{\partial z}{\partial x}$的值为：
A. $\sin x\cos y$
B. $\cos x\sin y$
C. $\sin x\cos y+\cos x\sin y$
D. $\sin x\cos y-\cos x\sin y$
答案：A
二、填空题（每题5分，共20分）
6. 设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(2)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\bigg|_{x=2}$的值为：
答案：$-\frac{1}{4}$
7. 设$f(x)=x^2-2x+1$，则$f''(1)$的值为：
答案：2
8. 设$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x}{x}$的值为：
答案：1
9. 设$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$，则$|A|$的值为：
答案：2
10. 设$z=\sin x\cos y+\cos x\sin y$，则$\frac{\partial z}{\partial y}$的值为：
答案：$\cos x\cos y$
三、解答题（共50分）
11. （10分）求函数$f(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}$的极值。
答案：$f(x)$在$x=1$处取得极小值$f(1)=-2$。
12. （10分）求极限$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x}$。
答案：$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin 2x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\cdot2\cos\frac{x}{2}=1$。
13. （10分）求矩阵$A=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{bmatrix}$的逆矩阵。
答案：$A^{-1}=\begin{bmatrix}4 & -2\\-3 & 1\end{bmatrix}$。
14. （10分）设$z=\sin x\cos y+\cos x\sin y$，求$\frac{\partial z}{\partial x}$和$\frac{\partial z}{\partial y}$。
答案：$\frac{\partial z}{\partial x}=\cos x\cos y-\sin x\sin y$，$\frac{\partial z}{\partial y}=\sin x\cos y+\cos x\sin y$。
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