2016年考研数学二第16题：已知函数$f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x^2+1}$，求证：存在唯一的实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=-1$，并求出该实数$\alpha$。
证明：
首先，函数$f(x)$在实数域内连续，且$f(1)=-1$，$f(2)=-1$，故$f(x)$在区间[1,2]上满足罗尔定理。根据罗尔定理，存在$\xi \in (1,2)$，使得$f'(\xi)=0$。
求$f(x)$的导数，得：
$$f'(x)=\frac{2x^2-3x(x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^3+3x^2-3x}{(x^2+1)^2}$$
令$f'(\xi)=0$，即：
$$-x^3+3x^2-3x=0$$
$$x^2(x-1)=0$$
解得$x=0$或$x=1$，由于$\xi \in (1,2)$，故$\xi=1$。
接下来，求$f''(x)$：
$$f''(x)=\frac{6x(x^2+1)^2-6x^3(x^2+1)}{(x^2+1)^4}=\frac{6x^3+6x^2-6x^3}{(x^2+1)^3}=\frac{6x^2}{(x^2+1)^3}$$
因为$f''(x)>0$，所以$f(x)$在区间[1,2]上是凹函数。
当$x=1$时，$f''(1)=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}>0$；当$x=2$时，$f''(2)=\frac{24}{25}>0$。由凹函数的性质可知，$f(x)$在区间[1,2]上是单调递增的。
因此，存在唯一的实数$\alpha$，使得$f(\alpha)=-1$。又因为$f(1)=-1$，故$\alpha=1$。
综上，存在唯一的实数$\alpha=1$，使得$f(\alpha)=-1$。
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