在探索考研数学的数列证明题时，我们常常会遇到一系列既考验逻辑思维又考验计算技巧的难题。以下是一个典型的数列证明题解析：
题目：已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$，且对于任意 $n\geq 2$，有 $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1}$。证明：数列 $\{a_n\}$ 的极限存在，并求出该极限。
解题过程：
1. 证明数列有界：首先，我们注意到当 $n\geq 2$ 时，$a_n$ 的表达式 $a_n=\frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1}$ 总是大于 $1$。这是因为分母 $a_{n-1}-1$ 总是小于 $a_{n-1}$，而分子 $a_{n-1}+1$ 总是大于 $a_{n-1}$。因此，数列 $\{a_n\}$ 有下界 $1$。
2. 证明数列单调性：接下来，我们证明数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的。对于任意 $n\geq 2$，有
$$
a_n - a_{n-1} = \frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1} - a_{n-1} = \frac{2}{a_{n-1}-1} - a_{n-1} = \frac{2 - a_{n-1}^2 + 1}{a_{n-1}-1} = \frac{3 - a_{n-1}^2}{a_{n-1}-1}.
$$
由于 $a_{n-1} > 1$，故 $3 - a_{n-1}^2 < 0$，从而 $a_n - a_{n-1} < 0$。因此，数列 $\{a_n\}$ 是单调递减的。
3. 证明数列极限存在：由于数列 $\{a_n\}$ 有下界且单调递减，根据单调有界定理，数列 $\{a_n\}$ 的极限存在。
4. 求出数列极限：设数列 $\{a_n\}$ 的极限为 $L$，则有
$$
L = \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n-1}+1}{a_{n-1}-1} = \frac{L+1}{L-1}.
$$
解这个方程，我们得到 $L^2 - 2L - 1 = 0$，解得 $L = 1 \pm \sqrt{2}$。由于 $L > 1$，故 $L = 1 + \sqrt{2}$。
综上所述，数列 $\{a_n\}$ 的极限存在，且极限值为 $1 + \sqrt{2}$。
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