在2021年的考研数学二中，考生们面临着一系列既考验逻辑思维又考验计算能力的题目。以下是对几道典型真题的解答：
1. 题目：求函数$f(x)=x^3-3x+1$在$x=1$处的导数。
答案：利用导数的定义，$f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(1+h)^3-3(1+h)+1-(1^3-3\times1+1)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3-3h}{h}=\lim_{h\to0}(h^2-3)=-3$。
2. 题目：计算积分$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx$。
答案：通过凑微分的方法，设$u=\sin x+\cos x$，则$du=(\cos x-\sin x)dx$。原式转化为$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{u}du=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{u}du=\ln u\bigg|_0^{\frac{\pi}{2}}=\ln(\frac{\pi}{2})-\ln(0)$，注意$\ln(0)$不存在，但极限$\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$，所以$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x+\cos x}dx=\ln(\frac{\pi}{2})$。
3. 题目：已知向量$\vec{a}=(1,2,3)$，$\vec{b}=(4,5,6)$，求向量$\vec{a}$与$\vec{b}$的夹角余弦值。
答案：利用向量点积公式，$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times4+2\times5+3\times6=32$，$|\vec{a}|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14}$，$|\vec{b}|=\sqrt{4^2+5^2+6^2}=\sqrt{77}$。因此，$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\times|\vec{b}|}=\frac{32}{\sqrt{14}\times\sqrt{77}}=\frac{16}{\sqrt{14\times77}}$。
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