考研数学2020题详解如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x$，则$f'(0)=\left( \right)$
A. -3 B. 0 C. 3 D. 6
【答案】C
2. 下列函数中，连续的函数是$\left( \right)$
A. $f(x)=\frac{1}{x}$ B. $f(x)=\frac{1}{x-1}$ C. $f(x)=\frac{1}{x^2-1}$ D. $f(x)=\frac{1}{x^2-x}$
【答案】C
3. 若$f(x)$在区间$[0,1]$上可导，且$f'(x)>0$，则$\int_0^1 f(x)dx$的值是$\left( \right)$
A. $f(1)-f(0)$ B. $f(0)-f(1)$ C. $f(0)$ D. $f(1)$
【答案】A
二、填空题
1. 若$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(x)=\left( \right)$
【答案】$3x^2-3$
2. 若$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$，则$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{x^2}=\left( \right)$
【答案】$\frac{1}{2}$
三、解答题
1. 求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的极值。
【答案】$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=1$，在$x=2$处取得极小值$f(2)=-1$。
2. 求函数$f(x)=x^2+2x+1$的导数。
【答案】$f'(x)=2x+2$
3. 求极限$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x-\sin x}{x^2}$。
【答案】$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x-\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\cos\left(\frac{3x}{2}\right)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos\left(\frac{3x}{2}\right)}{x}=\frac{3}{2}$
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