2020年考研数学三真题答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
6. C
7. D
8. B
9. C
10. A
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $e^{\frac{\pi}{2}}$
13. $\sqrt{3}$
14. $\frac{\pi}{4}$
15. $\frac{1}{3}$
三、解答题
16. 解：设$f(x) = \sin x + \cos x$，则$f'(x) = \cos x - \sin x$。令$f'(x) = 0$，得$x = \frac{\pi}{4}$。此时，$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}$，故$f(x)$的极小值为$\sqrt{2}$。
17. 解：由题意知，$A$的伴随矩阵$A^*$满足$A^*A = AA^* = E$，故$A^*$是$A$的逆矩阵，即$A^{-1} = A^*$。
18. 解：设$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{bmatrix}$。要使$\boldsymbol{A}^2$可逆，即行列式$\left|\boldsymbol{A}^2\right| \neq 0$，则$\left|\boldsymbol{A}\right| \neq 0$。又因为$\left|\boldsymbol{A}\right| = ad - bc$，故$ad - bc \neq 0$。
四、证明题
19. 证明：由题意知，$f(x)$在$x = 0$处连续，且$f'(0) = 0$。设$g(x) = f(x) - f'(x)$，则$g'(x) = f''(x) - f'(x)$。由拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, x)$，使得$f'(x) - f'(0) = f'(\xi)x$。因此，$g'(x) = f''(\xi)x$。又因为$f''(x)$在$x = 0$处连续，故$\lim_{x \to 0} g'(x) = 0$。由洛必达法则，$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f'(x)}{x} = \lim_{x \to 0} g'(x) = 0$。因此，$f(x) - f'(x) = 0$，即$f(x) = f'(x)$。
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