考研数学概率论每日一练：精选问题解析与深度讲解

介绍

考研数学中的概率论部分，对于很多同学来说是个难点，尤其是那些抽象的概念和复杂的计算。为了帮助大家更好地理解和掌握这部分知识，我们特意准备了一系列的每日一练题目。这些题目既涵盖了基础知识点，也融入了一些常见的考点，通过每天的练习，可以帮助大家逐步建立起对概率论的认识。今天，我们选取了3道典型问题，并提供了详细的解答和解析，希望能帮助大家在备考过程中少走弯路。

剪辑技巧

在制作概率论学习资料时，剪辑技巧的运用可以大大提升学习效果。要注重逻辑清晰，将问题拆解成小步骤，每一步都要有明确的思路和依据。多使用图表和实例，将抽象的概念具象化，比如用树状图表示事件关系，用表格展示概率分布。还可以适当加入一些动画效果，比如动态展示随机变量的取值过程，这样既能吸引注意力，又能加深理解。注意控制节奏，重要的结论和公式要反复强调，避免信息过载。

问题解答

问题1：随机事件独立性判断

问题描述：设A和B是两个随机事件，已知P(A)=0.6，P(B)=0.7，P(A∪B)=0.8，问事件A和事件B是否独立？

答案：要判断事件A和事件B是否独立，我们需要验证是否满足P(A∩B)=P(A)P(B)。根据概率的基本公式，我们有：

P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)

将已知条件代入，得到：

0.8 = 0.6 + 0.7 P(A∩B)

解得：

P(A∩B) = 0.5

接下来，计算P(A)P(B)：

P(A)P(B) = 0.6 × 0.7 = 0.42

比较两个结果，发现P(A∩B) ≠ P(A)P(B)，因此事件A和事件B不独立。

问题2：条件概率计算

问题描述：袋中有5个红球和3个白球，从中不放回地抽取两个球，已知第一个球是红球，求第二个球是白球的概率。

答案：这是一个典型的条件概率问题。我们设事件A为“第一个球是红球”，事件B为“第二个球是白球”。根据条件概率的定义，有：

P(BA) = P(A∩B) / P(A)

首先计算P(A)，即第一个球是红球的概率：

P(A) = 5 / 8

然后计算P(A∩B)，即第一个球是红球且第二个球是白球的概率。因为不放回抽取，所以：

P(A∩B) = (5 / 8) × (3 / 7) = 15 / 56

代入条件概率公式：

P(BA) = (15 / 56) / (5 / 8) = 3 / 7

因此，已知第一个球是红球的情况下，第二个球是白球的概率为3/7。

问题3：全概率公式应用

问题描述：某城市有60%的居民订阅了报纸A，50%的居民订阅了报纸B，30%的居民同时订阅了这两份报纸。现随机抽取一位居民，求该居民至少订阅了一份报纸的概率。

答案：这个问题适合用全概率公式来解决。我们设事件A为“居民订阅了报纸A”，事件B为“居民订阅了报纸B”。根据题意，有：

P(A) = 0.6 P(B) = 0.5 P(A∩B) = 0.3

我们要求的是至少订阅了一份报纸的概率，即P(A∪B)。根据概率的加法公式：

P(A∪B) = P(A) + P(B) P(A∩B)

代入数值：

P(A∪B) = 0.6 + 0.5 0.3 = 0.8

因此，随机抽取一位居民，该居民至少订阅了一份报纸的概率为0.8。这个结果也可以通过全概率公式来验证，但在这个问题中，直接使用加法公式更为简洁。