高数考研数二重点难点突破：常见问题深度解析

在备战高数考研数二的过程中，很多考生会遇到一些难以理解的知识点和易错问题。本篇笔记将针对数量3-5个常见的高数问题进行深度解析，帮助考生梳理思路，攻克难点。通过对问题的详细解答和思路分析，考生可以更好地掌握核心概念，提升解题能力。以下内容将结合实际案例，用通俗易懂的语言讲解，让考生在复习过程中少走弯路。

问题一：定积分的应用——求平面图形的面积

定积分在考研数学中是一个非常重要的部分，尤其是在求解平面图形的面积时。很多同学在应用定积分求解面积时，常常会忽略积分区间的确定或者被积函数的选取。这里有一个常见的例子：求曲线y=sinx和y=cosx在[0,π/2]区间围成的面积。

解答：我们需要确定两条曲线的交点。显然，在[0,π/2]区间内，sinx和cosx在x=π/4处相交。因此，积分区间可以分成两部分：[0,π/4]和[π/4,π/2]。接下来，我们需要确定被积函数。在[0,π/4]区间内，cosx位于sinx上方，所以被积函数应该是cosx-sinx；而在[π/4,π/2]区间内，sinx位于cosx上方，所以被积函数应该是sinx-cosx。我们将两个区间的积分结果相加，得到总面积。

具体计算过程如下：

S = ∫[0,π/4](cosx-sinx)dx + ∫[π/4,π/2](sinx-cosx)dx

= [sinx+cosx][0,π/4] + [-cosx-sinx][π/4,π/2]

= (sinπ/4+cosπ/4) (sin0+cos0) + (sinπ/2-cosπ/2) (sinπ/4+cosπ/4)

= √2/2 + √2/2 1 + 1 √2/2 √2/2

= 1

因此，曲线y=sinx和y=cosx在[0,π/2]区间围成的面积为1。

问题二：级数的敛散性判断

级数的敛散性是高数考研中的一个难点，很多同学在判断级数的敛散性时，常常会混淆各种敛散性判别法。这里有一个常见的例子：判断级数∑[n=1 to ∞] (n2)/(n3+1)的敛散性。

解答：我们可以尝试使用比较判别法。观察到(n2)/(n3+1) < (n2)/n3 = 1/n，而级数∑[n=1 to ∞] 1/n是调和级数，已知发散。因此，我们不能直接得出结论。接下来，我们可以尝试使用极限比较判别法。

lim[n→∞] (n2)/(n3+1) / (1/n) = lim[n→∞] n3/(n3+1) = 1

由于极限为非零有限值，且级数∑[n=1 to ∞] 1/n发散，因此级数∑[n=1 to ∞] (n2)/(n3+1)也发散。

问题三：多元函数的偏导数计算

多元函数的偏导数是高数考研中的一个基础知识点，但在实际计算中，很多同学会忽略复合函数的偏导数计算规则。这里有一个常见的例子：设z=xyln(x2+y2)，求z对x的偏导数。

解答：我们需要使用链式法则。对于z=xyln(x2+y2)，我们可以将其看作是两个函数的复合：u=xy和v=ln(x2+y2)。因此，z对x的偏导数为：

?z/?x = ?z/?u ?u/?x + ?z/?v ?v/?x

= yln(x2+y2) y + xy (2x)/(x2+y2)

= y2ln(x2+y2) + 2x2y/(x2+y2)

因此，z对x的偏导数为y2ln(x2+y2) + 2x2y/(x2+y2)。