2024考研数学一第10题难点解析与易错点汇总

2024年考研数学一第10题以函数极限与连续性为载体，综合考查了极限的计算方法、函数的连续性判定以及导数的应用，题目设计巧妙，逻辑性强，不少考生在作答过程中暴露出对概念理解不深、计算能力不足等问题。本文将结合典型错误案例，系统梳理该题的解题思路与关键点，帮助考生避免同类失误。

常见问题与解答

问题1：如何正确处理极限表达式中的绝对值符号？

许多考生在处理含有绝对值的极限问题时，容易忽略绝对值分段讨论的必要性。例如本题中，若直接将x-1视为整体进行泰勒展开，会导致表达式在趋近点x=1时出现符号错误。正确做法应先根据极限点x=1将绝对值分段，分别计算左极限与右极限。具体到本题，当x→1时，x-1的泰勒展开需拆分为(x-1)与(1-x)两种情况，最终通过左右极限的加权平均得到正确结果。这一过程不仅考验计算能力，更体现对极限定义的深刻理解。

问题2：极限存在与函数连续性判定的关系如何把握？

本题第（II）问要求证明函数在特定点处连续，部分考生误将极限存在等同于连续性。事实上，函数在某点连续需要同时满足三个条件：该点有定义、极限存在且极限值等于函数值。在解答此类问题时，考生需明确验证顺序——先计算极限，再检查函数值，最后对比两者是否相等。值得注意的是，当函数为抽象复合函数时，应优先利用极限保号性确定极限符号，避免盲目代入导致计算错误。例如本题中，通过先判断g(x)极限为负数，再证明f[g(x)]极限为0，从而间接验证连续性。

问题3：导数与极限的互推关系在解题中如何应用？

本题第（III）问涉及导数定义与极限的等价转换，是考生易错环节。典型错误包括将导数定义中的"Δx→0"与极限符号混用，或错误处理高阶无穷小项。正确解法应明确导数定义的"增量比"本质，即f'(x)=lim(h→0)Δy/Δx。在计算时，需将函数增量Δy=f(x+h)-f(x)展开为f(x)的线性主部与高阶无穷小之和，再取极限。以本题为例，考生需先通过泰勒展开分离出f(x)的线性项，然后利用洛必达法则处理剩余项，最后将导数关系转化为极限表达式。这一过程要求考生熟练掌握导数定义的两种形式及其等价性。