张宇考研数学一：那些年我们一起被戏弄的“小妖精”

考研数学，尤其是数一，堪称“四大名著”之一，每年都有无数考生在其中“九死一生”。而张宇老师，以其独特的教学风格和幽默的语言，将原本枯燥的数学变得生动有趣。但即便如此，考生们依然会在一些问题上“踩坑”，今天我们就来扒一扒那些年我们一起被戏弄的“小妖精”——考研数学一中的常见搞笑问题。

常见问题解答

问题一：为什么定积分的换元法总是让我“翻车”？

定积分的换元法，可以说是考研数学一中的一大“拦路虎”。很多同学在换元过程中，要么忘记调整积分上下限，要么对新的变量积分范围理解不清，导致最终结果“差之毫厘，谬以千里”。其实，换元法的关键在于“一致性”和“完整性”。换元后积分变量要跟着变，积分上下限也要相应调整；新的变量积分范围要明确，不能出现“张冠李戴”的情况。举个例子，比如计算∫₀¹ x2dx，如果用t=x3进行换元，那么新的积分上下限就要从0变成1，积分式变为∫₀¹ t(2/3) dt。注意，这里的t(2/3)是x2经过换元后的结果，积分范围也要跟着调整。如果忘记调整积分范围，直接写成∫₀¹ x2dx，虽然结果看起来一样，但实际上是错误的。因此，换元法的关键在于“一致性”和“完整性”，只要这两个方面做到位，定积分的换元法就不怕你“翻车”。

问题二：为什么级数收敛性问题总是让我“抓狂”？

级数收敛性问题，尤其是交错级数和绝对收敛性问题，是考研数学一中的一大“噩梦”。很多同学在判断级数收敛性时，要么乱用收敛性判别法，要么对级数的性质理解不清，导致最终结果“南辕北辙”。其实，级数收敛性问题的关键在于“抓准关键点”。要明确级数的类型，是正项级数、交错级数还是一般级数；要根据级数的类型选择合适的收敛性判别法。比如，对于正项级数，常用比值判别法和根值判别法；对于交错级数，常用莱布尼茨判别法。举个例子，比如判断级数∑_n=1^∞ (-1)(n+1) / (n+1)的收敛性，这是一个交错级数，可以直接用莱布尼茨判别法。因为其通项的绝对值单调递减且趋于0，所以级数收敛。如果误用比值判别法，可能会得到错误的结果。因此，级数收敛性问题的关键在于“抓准关键点”，只要对级数的类型和收敛性判别法理解透彻，就不会“抓狂”。

问题三：为什么微分方程的求解总是让我“头疼”？

微分方程的求解，尤其是二阶常系数线性微分方程，是考研数学一中的一大“难点”。很多同学在求解微分方程时，要么忘记写出特征方程，要么对特征根的理解不清，导致最终结果“一团糟”。其实，微分方程求解的关键在于“抓住特征根”。要明确微分方程的类型，是齐次还是非齐次，是线性还是非线性；要根据微分方程的类型写出相应的特征方程。比如，对于二阶常系数齐次线性微分方程y''+py'+qy=0，其特征方程为r2+pr+q=0。根据特征根的不同情况，可以分为两个解的叠加。如果特征根是两个不相等的实根r1和r2，那么通解为y=C1e(r1x)+C2e(r2x)；如果特征根是一个重根r，那么通解为y=(C1+C2x)e(rx)；如果特征根是一对共轭复根α±βi，那么通解为y=e(αx)(C1cos(βx)+C2sin(βx))。如果忘记写出特征方程，或者对特征根的理解不清，可能会导致最终结果“一团糟”。因此，微分方程求解的关键在于“抓住特征根”，只要对微分方程的类型和特征根的理解透彻，就不会“头疼”。