考研数学常考点深度解析：函数的连续性与间断点

考研数学中，函数的连续性与间断点是基础但又极易出错的知识点。很多同学在复习时往往只关注定义，却忽略了如何通过实际题目判断函数的连续性。本文将从定义出发，结合典型例题，手把手教你如何识别不同类型的间断点，并总结出应对此类问题的通用技巧。无论是填空题还是大题，这些方法都能帮你精准得分。

问题一：如何判断函数在某点是否连续？

函数在某点x?处连续，需要满足三个条件：函数在该点有定义，即f(x?)存在；左右极限都存在且相等，即lim(x→x??)f(x) = lim(x→x??)f(x)；极限值等于函数值，即lim(x→x?)f(x) = f(x?)。这三个条件缺一不可，很多同学容易忽略极限存在的步骤。

举个例子，比如判断f(x) = x2sin(1/x)在x=0处是否连续。表面上看，函数在x=0无定义，但通过定义域扩展，可以令f(0)=0。此时，我们发现lim(x→0) x2sin(1/x) = 0，因为x2趋于0时，sin(1/x)有界。所以扩展后的函数在x=0处连续。这类问题需要灵活运用极限性质，不能死记硬背。

问题二：可去间断点与跳跃间断点的区别是什么？

可去间断点又称为第一类间断点中的 removable discontinuity，特点是极限存在但不等于函数值，或者函数在某点无定义但极限存在。解决这类问题的关键是补充定义或修改函数值。比如f(x) = (x2-1)/(x-1)在x=1处有可去间断点，因为极限为2，但原函数在x=1无定义。

而跳跃间断点属于第一类间断点的另一种类型，特点是左右极限存在但不相等。这类问题常见于分段函数，比如f(x) = {x+1, x<0; x-1, x≥0