考研数学每日一题：轻松攻克概率论难点

考研数学的复习，尤其是概率论部分，常常让很多同学感到头疼。为了帮助大家更好地理解和掌握这一难点，我们特别推出了“考研数学每日一题”系列，每天用10分钟的时间，通过具体问题的解答，带你逐步攻克难关。这些题目都是根据历年真题和常见考点精心设计的，不仅能够帮助你巩固知识点，还能提升解题能力。无论你是基础薄弱还是希望拔高，都能在这里找到适合自己的内容。

今日问题精选

以下是今天为大家准备的3道概率论问题，每道题都附有详细解答，帮助你更好地理解解题思路和方法。

问题一：条件概率与全概率公式

假设某城市中有甲、乙两种品牌的手机，市场占有率分别为60%和40%。已知甲品牌手机的故障率为5%，乙品牌手机的故障率为10%，现随机抽取一部手机，发现它是故障机，求该手机是甲品牌的概率。

【答案】根据条件概率和全概率公式，我们可以得到以下解答：

设事件A为“抽取的手机是甲品牌”，事件B为“抽取的手机是故障机”。根据题意，P(A) = 0.6，P(?A) = 0.4，P(BA) = 0.05，P(B?A) = 0.1。

我们需要求的是P(AB)，根据贝叶斯公式，有：

P(AB) = P(A)P(BA) / [P(A)P(BA) + P(?A)P(B?A)]

代入已知数据，得到：

P(AB) = 0.6 × 0.05 / (0.6 × 0.05 + 0.4 × 0.1) = 0.6 × 0.05 / (0.03 + 0.04) = 0.6 × 0.05 / 0.07 ≈ 0.429

因此，该故障机是甲品牌的概率约为42.9%。

问题二：独立重复试验与二项分布

某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现进行5次独立射击，求恰好命中3次的概率。

【答案】这个问题可以使用二项分布来解决。二项分布的公式为：

P(X = k) = C(n, k) × pk × (1-p)(n-k)

其中，n为试验次数，k为命中次数，p为每次命中的概率。根据题意，n = 5，k = 3，p = 0.7。

代入公式，得到：

P(X = 3) = C(5, 3) × 0.73 × (1-0.7)(5-3)

其中，C(5, 3)表示从5次射击中选择3次命中的组合数，计算得到C(5, 3) = 10。

因此：

P(X = 3) = 10 × 0.73 × 0.32 = 10 × 0.343 × 0.09 ≈ 0.3087

所以，恰好命中3次的概率约为30.87%。

问题三：随机变量的期望与方差

设随机变量X的分布律如下：

X 0 1 2 -------------------- P(X) 0.2 0.5 0.3

求随机变量X的期望E(X)和方差D(X)。

【答案】我们需要计算随机变量X的期望E(X)。期望的公式为：

E(X) = Σ[x × P(X = x)]

代入已知数据，得到：

E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1

接下来，我们计算随机变量X的方差D(X)。方差的公式为：

D(X) = E(X2) [E(X)]2

首先计算E(X2)：

E(X2) = Σ[x2 × P(X = x)]

代入已知数据，得到：

E(X2) = 02 × 0.2 + 12 × 0.5 + 22 × 0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7

因此：

D(X) = 1.7 (1.1)2 = 1.7 1.21 = 0.49

所以，随机变量X的期望E(X)为1.1，方差D(X)为0.49。