高数考研极限62道经典例题深度解析与常见误区剖析

在高等数学考研的征程中，极限问题是考生们必须攻克的难关。它不仅是后续微积分学习的基础，更是考察逻辑思维与运算能力的核心环节。本栏目精选了62道经典极限例题，涵盖了从基础运算法则到复杂变形的各类题型，旨在帮助考生系统梳理解题思路，突破重难点。每道例题均附有详细解析与常见错误分析，让读者在实战演练中快速提升。我们注重知识的深度与广度，不仅提供标准答案，更强调解题方法的灵活运用，助力考生在有限时间内高效备考。

例题1：极限计算的基本方法

问题：

计算极限 lim (x→2) [(x2 4) / (x 2)]

答案：

这道题看似简单，但很多考生会直接代入x=2导致分母为零的错误。正确做法是先对分子进行因式分解：lim (x→2) [(x+2)(x-2) / (x-2)]。由于x→2时分母和分子中的(x-2)项可以约去，最终结果变为lim (x→2) (x+2)。将x=2代入，得到答案4。这个例题揭示了极限计算中“约分”这一关键技巧，也是处理“0/0”型未定式的基础方法。值得注意的是，约分的前提是分子分母存在公因子，且该因子不能为零。当直接代入导致“∞/∞”型未定式时，考生还需掌握洛必达法则、泰勒展开等高级技巧，这些方法将在后续题目中逐步展开。

例题2：无穷小量的比较

问题：

比较极限 lim (x→0) [sin(x) / x] 和 lim (x→0) [ln(1+x) / x] 的收敛速度。

答案：

这道题考察了无穷小量的等价替换与比较。根据基本极限结论，lim (x→0) [sin(x) / x] = 1。而lim (x→0) [ln(1+x) / x]可以通过洛必达法则求解：原式 = lim (x→0) [(1 / (1+x)) / 1] = 1。虽然表面结果相同，但两者的收敛速度存在差异。具体来说，当x接近0时，sin(x)的泰勒展开为x x3/6 + O(x?)，而ln(1+x)的展开为x x2/2 + O(x3)。这意味着在x2量级时，ln(1+x)比sin(x)衰减得更快。这一结论在解决复杂极限问题时尤为重要，例如在判断极限是否存在时，需关注主导项的收敛性。考生应熟练掌握常见函数的泰勒展开，这对快速判断极限行为大有裨益。

例题3：夹逼定理的应用

问题：

计算极限 lim (n→∞) [sin(1/n) + sin(2/n) + ... + sin(n/n)] / n。

答案：

这道题看似直接求和会陷入困境，但通过夹逼定理可以巧妙解决。由于-1 ≤ sin(k/n) ≤ 1，对k从1到n求和得到 -n ≤ sin(1/n) + sin(2/n) + ... + sin(n/n) ≤ n。除以n后变为 -1 ≤ [sin(1/n) + sin(2/n) + ... + sin(n/n)] / n ≤ 1。当n→∞时，左负右正的夹逼区间趋于0，因此原极限为0。这个例题展示了夹逼定理在处理“无穷多个无穷小之和”时的强大威力。特别值得注意的是，当直接求和困难时，可尝试将求和式转化为积分形式：原式 ≈ (1/n) ∑[sin(k/n) (k/n)]，这对应于积分 ∫[sin(x) dx] 从0到1的黎曼和。虽然这里未明确写出积分，但考生应理解这种转化思想，它为解决复杂求和问题提供了新思路。当求和项的上下界不易确定时，可考虑将表达式变形，例如利用三角函数的周期性或对称性简化计算。