考研数学二常见考点深度解析与备考策略

考研数学二作为理工科考研的重要科目，考察内容涵盖高等数学、线性代数和概率论与数理统计。参考教材如《考研数学二辅导讲义》系统地梳理了知识点，但许多考生在复习过程中仍会遇到难点。本文将结合教材内容，针对5个常见问题进行深入解析，帮助考生突破重难点，提升应试能力。通过实例分析和解题技巧分享，让复杂的数学问题变得清晰易懂，助力考生在考试中取得理想成绩。

问题一：定积分的应用题如何准确列式求解？

定积分的应用题是考研数学二的常考点，主要涉及面积、体积、弧长等计算。很多同学在列式时会遇到困难，关键在于理解微元法的思想。比如，计算由曲线y=sinx和y=0在[0,π]围成的面积，可以先画出图形，取微元[0,π]中的小区间[x,x+dx]，其上面积为dA=y(x)dx=sinx dx。然后对区间积分得到总面积A=∫?π sinx dx=2。解题时要注意：

明确积分变量和积分区间

根据几何意义简化微元表达式

检查边界条件是否合理

。特别提醒，若曲线围成封闭区域，要先求交点确定积分上下限，避免漏解。

问题二：矩阵的秩如何高效计算？

矩阵秩的计算是线性代数的核心考点，教材中介绍了多种方法。对于行阶梯形矩阵，秩等于非零行数；对于一般矩阵，常用初等变换化简。以4阶矩阵A为例，若通过行变换得到[10002000]，则秩为1，因为只有第一行线性无关。解题技巧包括：

先化简再判断

利用秩的性质r(A)=r(A?)

特殊矩阵如零矩阵秩为0

。特别要注意，伴随矩阵的秩有特殊结论：若r(A)=n-1，则r(Adj A)=1。在证明题中，常通过反证法结合秩的基本性质来推导结论，如假设r(A)=r>0，则r(Adj A)=n-r=0，这与伴随矩阵满秩矛盾。

问题三：级数敛散性的判别技巧有哪些？

级数敛散性是高数部分的重点难点，教材中归纳了多种判别法。比较典型的例题是判别∑(n=1→∞) (n+1)/n2的敛散性。可以采用比值法：lim(n→∞) [(n+2)/(n+1)]/[(n+1)/n]=1，故发散。但更简便的是直接比较，因为(n+1)/n2<1/n2，而p=2的p级数收敛，所以原级数也收敛。常用方法总结：

正项级数用比值法、根值法、比较法

交错级数用莱布尼茨判别法

绝对收敛必条件收敛

。特别提醒，当通项含有ln(n)或n!时，优先考虑比值法；含有nk形式时，比较法更有效。在证明题中，常需要结合多种方法，如先证明绝对收敛再用比较法确定具体敛散性。

问题四：微分方程的求解步骤是什么？

微分方程是考研数学二的热点，教材系统讲解了各类方程的解法。以二阶常系数非齐次方程y''-3y'+2y=2ex为例，解题步骤如下：

先解对应的齐次方程y''-3y'+2y=0，特征方程为r2-3r+2=0，解得r?=1,r?=2，通解为y_h=c?ex+c?e2?

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求非齐次特解y_p，因右侧为ex形式，尝试y_p=Aex，代入方程得A=1，故y_p=ex

总解为y=y_h+y_p=c?ex+c?e2?+ex

。解题关键点：

齐次解要写全通解

非齐次特解形式要根据右侧函数选择

注意常数项要单独分离

。在考试中，若忘记某个特解形式，可以采用待定系数法或变系数法，但计算量会明显增加。

问题五：多元函数的极值如何求解？

多元函数极值是考研的重点，教材中详细介绍了求解方法。以z=f(x,y)=x3+y3-3xy为例，求解步骤如下：

求一阶偏导f_x=3x2-3y，f_y=3y2-3x，令其为0得到驻点(1,1)和(0,0)

求二阶偏导f_xx=6x，f_xy=-3，f_yy=6y，在(1,1)处A=6,B=-3,C=6,B2-AC=-27<0，故为极小值

在(0,0)处B2-AC=0，需用定义判断，取沿y=x的路径，lim(x→0) [f(x,x)-f(0,0)]/(x-0)=0，沿y=-x，lim(x→0) [f(x,-x)-f(0,0)]/(x-0)=0，均不为0，故非极值点

。解题技巧：

极值点必是驻点或不可导点

二阶导检验法要完整计算

不可导点需单独验证

。特别提醒，在实际应用中，往往需要结合拉格朗日乘数法处理条件极值，此时要注意检验乘数λ是否为0。