考研数学必记函数图像：常见问题与解析

介绍

考研数学中，函数图像是理解函数性质、求解方程和不等式的重要工具。掌握常见函数的图像特征，不仅能帮助你快速解题，还能提升解题效率。本文将结合考研常见题型，解析几个关键函数图像问题，帮你轻松突破这一难点。内容力求通俗易懂，避免枯燥理论，让你在复习中少走弯路。

常见问题解答

问题1：如何快速画出y = sin(x)和y = cos(x)的图像？

答案：
sin(x)和cos(x)是最基本的三角函数，它们的图像是考研中的高频考点。记住这两个函数的周期都是2π，振幅为1。画图时，可以先确定几个关键点：
sin(x)在x=0时为0，x=π/2时达到1，x=π时又回到0，x=3π/2时为-1，x=2π时回到0
cos(x)在x=0时为1，x=π/2时为0，x=π时为-1，x=3π/2时为0，x=2π时又回到1

接着，用光滑的曲线将这些点连接起来，注意正弦函数是"波峰在π/2，波谷在3π/2"，余弦函数则相反。特别要注意的是，sin(x)图像关于原点对称，而cos(x)图像关于y轴对称。在考试中，如果时间紧张，只需画出函数在一个周期内的图像，然后根据对称性扩展即可。

问题2：如何判断y = x3和y = √x的图像特征？

答案：
x3和√x是考研中常见的幂函数，它们的图像特征直接影响解题思路。对于y=x3，这个函数是奇函数，所以图像关于原点对称。在第一象限，随着x增大，y增长速度越来越快（因为导数x2单调递增）。在第二象限，函数值逐渐变小。记住这个函数在x=0时穿过原点，且没有极值点。考试中常考这个函数的切线问题，关键是要掌握导数在任意点的几何意义。

而y=√x是定义在x≥0上的函数，图像从原点开始向右上方延伸。这个函数在第一象限内是凹函数（二阶导数小于0），所以图像会"越来越平缓"。特别要注意的是，当x接近0时，y的增长速度非常快（虽然数值变小，但变化率大）。这个函数的导数是1/(2√x)，考试中常用来求切线方程。记住，所有幂函数的图像特征都与指数n的正负和奇偶性密切相关。

问题3：如何快速画出y = ex和y = ln(x)的图像？

答案：
指数函数ex和对数函数ln(x)是考研中的常客，它们的图像虽然不同，但可以通过几个关键点快速绘制。对于ex，这个函数永远大于0，且在x轴右侧增长速度越来越快（因为导数ex始终大于1）。在x轴左侧，函数值趋近于0但永远不为负。记住它在x=0时值为1，且没有极值点。考试中常考这个函数的渐进线x→-∞时y→0。

ln(x)则定义在x>0上，图像从负无穷延伸到正无穷。这个函数在x=1时穿过原点，且在x=1附近增长最快（导数1/x在x=1时为1）。当x接近0时，ln(x)会趋于负无穷，这是对数函数的典型特征。考试中常考这个函数的切线问题，关键是要掌握导数1/x在任意点的几何意义。记住，ex和ln(x)互为反函数，所以它们的图像关于y=x对称。