数学考研公式汇总：常见问题深度解析与实战应用
在备战数学考研的过程中，公式是考生必须掌握的核心内容之一。无论是高等数学、线性代数还是概率论与数理统计，公式不仅是解题的基础，更是理解数学逻辑的关键。本汇总旨在通过解析常见问题，帮助考生深入理解公式背后的原理，并学会在实际题目中灵活运用。内容涵盖三大高频考点，每个问题均提供详尽解答，力求以通俗易懂的方式突破学习难点。
问题一：定积分的分部积分公式如何选择u和dv？
定积分的分部积分公式是考研中的高频考点，其公式为∫u?dv?=?uv???∫v?du。在实际应用中，如何正确选择u和dv是许多考生遇到的难题。一般来说，选择u和dv遵循“反对幂指三”的原则，即先选含有对数函数、反三角函数的项为u，其余部分为dv。但具体操作时还需结合题目特点灵活调整。
例如，在计算∫x?ln?x?dx时，应将ln?x选为u，x?dx选为dv。这是因为ln?x的导数是1/x，便于后续积分，而x?dx的原函数相对简单。具体步骤如下：
- 设u?=?ln?x，dv?=?x?dx，则du?=?1/x?dx，v?=?x2/2。
- 代入公式得∫x?ln?x?dx?=?x2/2?ln?x???∫x2/2?·?1/x?dx。
- 化简后得x2/2?ln?x???∫x/2?dx，进一步计算得x2/2?ln?x???x2/4。
值得注意的是，若题目中含有三角函数与指数函数的乘积，通常优先选择指数函数为dv，因为其积分形式不变。例如∫x?e??dx中，应将e?选为dv，x为u，这样du的计算更为简便。通过大量练习，考生可以逐渐培养出快速判断u和dv的能力。
问题二：级数收敛性的判别方法有哪些？
级数收敛性是考研数学中的重点难点，常见的判别方法包括比值判别法、根值判别法、比较判别法等。每种方法都有其适用场景，考生需根据级数形式灵活选择。以比值判别法为例，其公式为lim(n→∞)a???/a?，当结果小于1时级数收敛，大于1时发散，等于1时无法判断。
例如，对于级数∑(n=1 to ∞) (n2+1)/n?，可使用比值判别法判断其收敛性：
- 计算比值lim(n→∞) [(n??2+1)/(n???)] / [(n2+1)/n?]。
- 化简得lim(n→∞) [(n???(n2+1))/n?(n??2+1)]。
- 进一步得lim(n→∞) [n?(n???)/n?(n??2+1)] = lim(n→∞) [1/(1+1/n??2)] = 1。
由于结果等于1，比值判别法失效，此时可改用比较判别法。观察到(n2+1)/n? ≤ 1/n2，而∑(n=1 to ∞) 1/n2是p=2的p级数，已知收敛。因此原级数也收敛。实际考试中，考生需结合多种方法综合判断，避免单一方法的局限性。
问题三：矩阵特征值与特征向量的求解技巧有哪些？
矩阵特征值与特征向量是线性代数的核心内容，其求解公式为λE A = 0，其中λ为特征值，A为矩阵。求解过程通常分为两步：首先解特征方程得到特征值，再代入(λE A)x = 0求解特征向量。关键在于行列式的计算和对基础解系的理解。
以矩阵A = [[2, 1], [1, 2]]为例，其特征值求解步骤如下：
- 写出特征方程λE A = λ 2 -1 = 0。
- 展开行列式得(λ 2)2 (-1)×1 = λ2 4λ + 3 = 0。
- 解得特征值λ?=1，λ?=3。
对于λ?=1，代入(1E A)x = 0得[-1 -1] [x?] = [0]，解得x? = -x?，特征向量为k?[1, -1]（k?≠0）。同理，λ?=3的特征向量为k?[1, 1]（k?≠0）。值得注意的是，特征向量具有方向性，非零倍数仍为特征向量，但需保证线性无关。通过这种方式，考生可以系统掌握特征值与特征向量的求解方法。