2018年考研数学二积分部分常见疑问与解析

内容介绍

2018年考研数学二的积分部分一直是考生们的难点，很多同学在备考过程中会遇到各种各样的问题。本文将针对当年考生反馈较多的积分难题，用通俗易懂的方式逐一解析。无论是定积分的计算技巧，还是反常积分的收敛性判断，我们都将提供详尽的解答思路。希望通过这些实例，能帮助大家掌握积分问题的核心解题方法，提升数学综合能力。文中内容均基于历年真题和考生常见误区编写，力求贴近考试实际，为备考提供有效参考。

常见问题解答

问题1：2018年考研数二某道定积分计算题为何用换元法后计算复杂？

解答：2018年考研数学二有一道定积分计算题，题目要求计算∫[0,1]xln(1+x)dx。部分考生在解题时尝试使用换元法，令t=1+x，虽然思路正确，但在变量替换过程中忽视了积分限的变化，导致后续计算陷入繁琐的式子。正确做法是先分部积分，设u=ln(1+x)，dv=xdx，则du=1/(1+x)dx，v=x2/2。根据分部积分公式得原式=x2ln(1+x)/2?1-∫[0,1]x2/(2(1+x))dx。此时再使用换元法令t=1+x，积分区间变为[1,2]，被积函数变为(t-1)2/2·1/t-1，化简后可轻松计算。这个题目考察的是积分计算的灵活运用，考生需要根据被积函数的特点选择最合适的计算方法，避免盲目使用换元法导致计算量增大。

问题2：反常积分收敛性判断时如何选择合适的比较对象？

解答：2018年考研数学二反常积分收敛性判断题中，常见的问题是∫1,∞/x4dx的收敛性分析。部分考生在解题时直接将被积函数拆分为1/x2+sinx/x4两部分，分别判断，但忽略了sinx/x4在x→∞时振动的干扰。正确方法是观察主要项x2/x4=x-2，与∫[1,∞]x-2dx比较。由于p=2>1，∫[1,∞]x-2dx收敛，故原积分收敛。更严谨的证明可以使用极限比较法，计算limx→∞/x4·x4/x-2=1，同样得出结论。在反常积分收敛性判断中，选择比较对象的关键是抓住被积函数的主导项，对于多项式与三角函数的比值，通常取最高次项与最低次项的比值；对于无理式，则要看根式的次数。掌握这些规律，能有效提高反常积分问题的解题效率。

问题3：定积分几何应用中，如何正确处理分段函数的面积计算？

解答：2018年考研数学二定积分几何应用题中，有一道关于分段函数y=x-1在[-2,3]上与x轴围成面积的计算题。很多考生在解题时错误地认为需要分段计算两个绝对值函数，分别求出x-1在[-2,1]和[1,3]上的积分，然后简单相加。实际上，绝对值函数的几何意义是折线，其面积计算应先画出函数图像，找到分段点x=1，然后计算两段折线与x轴围成的面积。具体来说，当x∈[-2,1]时，y=1-x；当x∈[1,3]时，y=x-1。因此，总面积S=∫-2,1dx+∫1,3dx=-x+x2/2??2+x2/2-x?3=8/2+4/2=6。这个题目考察的是考生对分段函数积分的理解，需要掌握"数形结合"的解题思想，通过图像分析简化计算过程。在定积分几何应用中，遇到分段函数时，一定要先画出函数图像，明确分段点，再分段计算，避免遗漏或重复计算面积。