考研数学1000题重点题疑难突破与精解

在考研数学的备考过程中，1000题无疑是一份含金量极高的参考资料。它不仅涵盖了海量的经典题型，还精选了许多历年真题中的高频考点。然而，许多考生在刷题时常常会遇到一些难以理解的题目，或者对某些解题思路感到困惑。为了帮助大家更好地攻克这些难点，我们整理了以下几道重点题的常见问题，并提供了详细的解答思路。这些问题既具有代表性，又能够切实提升考生的解题能力。希望通过本文的解析，能够让大家对考研数学的重点题型有更深入的理解。

问题一：函数极限的计算技巧

在考研数学中，函数极限的计算是每年必考的内容之一。很多同学在遇到复杂的极限问题时，往往不知道从何处入手。其实，函数极限的计算方法多种多样，包括洛必达法则、等价无穷小替换、泰勒展开等。以下我们通过一道典型例题来详细解析。

【例题】求极限 lim (x→0) (ex cosx) / x2。

【解答】我们观察到分子和分母在x→0时都趋近于0，因此可以考虑使用洛必达法则。洛必达法则告诉我们，当极限形式为0/0或∞/∞时，可以对分子和分母分别求导后再求极限。

对分子ex cosx求导，得到ex + sinx；对分母x2求导，得到2x。于是原极限变为 lim (x→0) (ex + sinx) / 2x。

然而，我们再次发现分子和分母在x→0时仍然趋近于0，因此需要再次使用洛必达法则。对分子ex + sinx求导，得到ex + cosx；对分母2x求导，得到2。于是原极限变为 lim (x→0) (ex + cosx) / 2。

此时，x→0，所以ex→1，cosx→1。因此，原极限最终等于 (1 + 1) / 2 = 1。

在使用洛必达法则时，必须确保每次求导后的极限存在或者趋于无穷大。如果求导后极限仍然为0/0或∞/∞，则可以继续使用洛必达法则，直到得到明确的极限值或者发现无法继续求导。

问题二：多元函数微分的应用

多元函数微分在考研数学中也是一个重要的考点，尤其是涉及到极值、条件极值以及方向导数的问题。很多同学在处理这类问题时，容易混淆不同的概念或者忽略某些条件。下面我们通过一道例题来解析多元函数微分的应用。

【例题】求函数f(x,y) = x3 + y3 3xy在区域D: x2 + y2 ≤ 1上的最大值和最小值。

【解答】我们需要找出函数在区域内的驻点。为此，我们对函数f(x,y)求偏导数，并令其等于0。

对x求偏导，得到f_x = 3x2 3y；对y求偏导，得到f_y = 3y2 3x。令f_x = 0，f_y = 0，解得驻点为(0,0)和(1,1)。

然而，(1,1)不在区域D内，因此我们只需要考虑(0,0)这个驻点。接下来，我们需要判断这个驻点是极大值、极小值还是鞍点。

为此，我们计算二阶偏导数：f_xx = 6x，f_xy = -3，f_yy = 6y。在驻点(0,0)处，f_xx = 0，f_xy = -3，f_yy = 0。因此，Δ = f_xx f_yy (f_xy)2 = -9。

由于Δ < 0，且f_xx = 0，f_yy = 0，我们无法直接判断驻点的性质。但是，我们可以通过观察函数在驻点附近的取值来确定。

在驻点(0,0)附近，当x和y都为正数时，f(x,y) > 0；当x和y都为负数时，f(x,y) < 0。因此，(0,0)是一个鞍点。

接下来，我们需要考虑边界上的情况。在边界x2 + y2 = 1上，我们可以将y用x表示，即y = √(1 x2)。代入函数f(x,y)中，得到f(x) = x3 + (1 x2)3/2 3x√(1 x2)。

对f(x)求导，并令其等于0，解得x = ±1/√3。此时，y = √(1 (1/√3)2) = √6/3。因此，边界上的驻点为(1/√3, √6/3)和(-1/√3, -√6/3)。

计算这些驻点的函数值，得到f(1/√3, √6/3) = 1，f(-1/√3, -√6/3) = -1。因此，函数在区域D上的最大值为1，最小值为-1。

问题三：积分的计算技巧

积分是考研数学中的另一个重要内容，尤其是定积分和不定积分的计算。很多同学在处理复杂的积分问题时，往往不知道如何选择合适的积分方法。其实，积分的计算方法多种多样，包括换元积分、分部积分、三角代换等。以下我们通过一道典型例题来详细解析。

【例题】计算定积分 ∫[0,π/2] sin3x / (1 + cosx) dx。

【解答】我们观察到被积函数中含有sin3x和cosx，可以考虑使用三角恒等式进行化简。

由于sin3x = sinx sin2x = sinx (1 cos2x)，因此原积分可以写成 ∫[0,π/2] sinx (1 cos2x) / (1 + cosx) dx。

将分子拆开，得到 ∫[0,π/2] (sinx / (1 + cosx) sinx cos2x / (1 + cosx)) dx。

对于第一部分 ∫[0,π/2] sinx / (1 + cosx) dx，我们可以使用换元法。令u = 1 + cosx，则du = -sinx dx。当x = 0时，u = 2；当x = π/2时，u = 1。因此，积分变为 ∫[2,1] -du / u = ∫[1,2] du / u = lnu [1,2] = ln2 ln1 = ln2。

对于第二部分 ∫[0,π/2] sinx cos2x / (1 + cosx) dx，我们可以使用分部积分法。令u = cosx，则du = -sinx dx；令dv = cos2x / (1 + cosx) dx，则需要求v。

为了求v，我们可以将dv写成 v = ∫[cos2x / (1 + cosx)] dx。这个积分可以通过换元法来解决。令t = cosx，则dt = -sinx dx。当x = 0时，t = 1；当x = π/2时，t = 0。因此，积分变为 ∫[1,0] -t2 / (1 + t) dt = ∫[0,1] t2 / (1 + t) dt。

这个积分可以通过多项式除法来解决。t2 / (1 + t) = t 1 + 1 / (1 + t)。因此，积分变为 ∫[0,1] (t 1 + 1 / (1 + t)) dt = ∫[0,1] t dt ∫[0,1] 1 dt + ∫[0,1] 1 / (1 + t) dt。

计算这些积分，得到 ∫[0,1] t dt = 1/2 t2 [0,1] = 1/2；∫[0,1] 1 dt = t [0,1] = 1；∫[0,1] 1 / (1 + t) dt = ln1 + t [0,1] = ln2 ln1 = ln2。

因此，第二部分的结果为 1/2 1 + ln2 = ln2 1/2。

将两部分结果相加，得到原积分的值为 ln2 + (ln2 1/2) = 2ln2 1/2。