考研数学每日一题：解析三道高数经典难题

在考研数学的备考过程中，高数部分往往是考生们的难点所在。每日一题的形式能够帮助大家系统地梳理知识点，提升解题能力。今天我们精选了三道常见的高数问题，从不同角度考察了函数极限、导数应用和积分计算等核心内容。这些问题不仅涵盖了考研数学的常考点，还融入了部分难点，适合有一定基础的考生进行巩固和拔高。通过详细的解析，大家能够更深入地理解解题思路，避免在考试中因思路不清而失分。

问题一：函数极限的求解技巧

题目：求极限 lim (x→0) [(1+x)α 1 αx] / x2，其中α为常数。

答案：这道题考察的是函数在极限点处的泰勒展开。我们可以将(1+x)α用二项式定理展开，得到：

(1+x)α = 1 + αx + α(α-1)/2!x2 + α(α-1)(α-2)/3!x3 + ...

因此，(1+x)α 1 αx = α(α-1)/2!x2 + α(α-1)(α-2)/3!x3 + ...

将这个表达式代入原极限，得到：

lim (x→0) [(1+x)α 1 αx] / x2 = lim (x→0) [α(α-1)/2! + α(α-1)(α-2)/3!x + ...] / x2

由于x2的系数是α(α-1)/2!，其他项的系数都含有更高次幂的x，因此在x→0时可以忽略。所以，原极限等于α(α-1)/2!

这个结果也可以通过洛必达法则验证。原极限是一个0/0型未定式，可以连续使用洛必达法则两次。第一次求导后，得到α(1+x)(α-1) α，第二次求导后，得到α(α-1)(1+x)(α-2)。将x=0代入，得到α(α-1)，与之前的结果一致。

这道题的关键在于掌握泰勒展开和洛必达法则的运用。泰勒展开可以将复杂的函数在某点附近用多项式逼近，而洛必达法则适用于解决0/0或∞/∞型未定式。在考研数学中，这两种方法经常结合使用，能够大大简化极限的计算过程。

问题二：导数在极值问题中的应用

题目：设函数f(x) = x3 3x2 + 2，求f(x)的极值点。

答案：这道题考察的是导数在极值问题中的应用。我们需要求出f(x)的一阶导数：

f'(x) = 3x2 6x

令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2。这两个点可能是极值点，需要进一步判断。

我们可以使用二阶导数来判断。求出f(x)的二阶导数：

f''(x) = 6x 6

当x = 0时，f''(0) = -6，小于0，所以x = 0是极大值点；当x = 2时，f''(2) = 6，大于0，所以x = 2是极小值点。

我们也可以通过一阶导数的变化来判断。在x = 0的左侧，f'(x) > 0，右侧f'(x) < 0，所以x = 0是极大值点；在x = 2的左侧，f'(x) < 0，右侧f'(x) > 0，所以x = 2是极小值点。

因此，f(x)在x = 0处取得极大值，在x = 2处取得极小值。将这两个点代入原函数，得到极大值为f(0) = 2，极小值为f(2) = 0。

这道题的关键在于掌握导数与极值的关系。一般来说，极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。因此，需要通过二阶导数或一阶导数的变化来判断。在考研数学中，这类问题经常与曲线的凹凸性结合在一起考察，需要考生能够灵活运用。

问题三：定积分的计算技巧

题目：计算定积分 ∫[0,1] (x2 + 1) / (x2 + x + 1) dx。

答案：这道题考察的是定积分的计算技巧。我们可以将积分表达式拆分为两部分：

∫[0,1] (x2 + 1) / (x2 + x + 1) dx = ∫[0,1] 1 dx ∫[0,1] x / (x2 + x + 1) dx

第一部分很简单，直接计算得到∫[0,1] 1 dx = [x] [0,1] = 1 0 = 1。

第二部分需要使用换元法。令u = x2 + x + 1，则du = (2x + 1) dx。在x = 0时，u = 1；在x = 1时，u = 3。因此，积分变为：

∫[0,1] x / (x2 + x + 1) dx = ∫[1,3] (u 1) / (2u) du / 2 = 1/4 ∫[1,3] (1 1/u) du

计算得到1/4 [(u lnu) [1,3] = 1/4 [(3 ln3) (1 ln1)] = 1/4 (2 ln3)。

因此，原定积分等于1 1/4 (2 ln3) = 1/2 + 1/4 ln3。

这道题的关键在于掌握定积分的计算方法，包括拆分积分、换元法等。在计算过程中，需要注意积分区间的变化和常数项的处理。在考研数学中，定积分的计算是常考点，经常与其他知识点结合在一起考察，需要考生能够灵活运用各种方法。