2025年考研数学二第20题解析如下：
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，其中$x > 0$，求$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值。
解答：
1. 首先对函数$f(x)$求导，得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$。
3. 分析$f'(x)$的符号，当$x \in (0, 1)$时，$f'(x) > 0$，当$x \in (1, +\infty)$时，$f'(x) < 0$。
4. 由此可知，函数$f(x)$在$x = 1$处取得极大值，也是最大值。
5. 将$x = 1$代入$f(x)$，得$f(1) = 1 - \ln 1 = 1$。
所以，函数$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值为1。
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