在数学考研微积分领域，以下是一些核心公式和概念，帮助考生高效备战：
1. 导数公式：
- 基本导数公式：\( (c)' = 0 \)，\( (x)' = 1 \)，\( (\sin x)' = \cos x \)，\( (\cos x)' = -\sin x \)，\( (\tan x)' = \sec^2 x \)，\( (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} \)，其中 \( a > 0 \) 且 \( a \neq 1 \)。
- 积的导数：\( (uv)' = u'v + uv' \)。
- 商的导数：\( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \)。
- 复合函数的导数：\( \left[f(g(x))\right]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)。
2. 积分公式：
- 不定积分：\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，其中 \( n \neq -1 \)。
- 定积分：\( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \)，其中 \( F(x) \) 是 \( f(x) \) 的一个原函数。
- 常用积分公式：\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \)，\( \int \sec^2 x dx = \tan x + C \)，\( \int \csc^2 x dx = -\cot x + C \)。
3. 微分中值定理：
- 罗尔定理：若函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 上可导，且 \( f(a) = f(b) \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'(\xi) = 0 \)。
- 拉格朗日中值定理：若函数 \( f(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 上可导，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)。
- 柯西中值定理：若函数 \( f(x) \) 和 \( g(x) \) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 上可导，且 \( g'(x) \neq 0 \)，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \)。
4. 泰勒公式：
- 泰勒展开式：\( f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n + o((x - a)^n) \)。
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