2011年考研数学二真题答案如下：
一、选择题（每题5分，共10分）
1. 设函数 \( f(x) = \frac{x}{1+x^2} \)，则 \( f'(0) \) 的值为：
A. 1
B. 0
C. -1
D. 不存在
答案：B
2. 下列命题中正确的是：
A. 若 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续，则 \( f'(a) \) 必定存在。
B. 若 \( f'(x) \) 在 \( x=a \) 处连续，则 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处必定可导。
C. 若 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处必定连续。
D. 若 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处连续，则 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处的导数可能不存在。
答案：C
二、填空题（每题5分，共10分）
3. \( \int \frac{1}{x^2-1} dx = \frac{1}{2} \ln |x-1| + \frac{1}{2} \ln |x+1| + C \)
4. \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{1}{6} \)
三、解答题（每题15分，共45分）
5. 计算定积分 \( \int_0^{\pi} \frac{\sin^2 x}{\cos^3 x} dx \)
6. 求函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \) 的极值
7. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，计算 \( A^{-1} \)
四、证明题（每题20分，共40分）
8. 证明：若 \( f(x) \) 在 \( x=a \) 处可导，则 \( f'(a) \) 存在。
9. 证明：若 \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)，则 \( \lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n \)。
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