在初等数学领域，考研题目往往侧重于考察基础知识和解题技巧。以下是一道典型的考研初等数学题目：
题目：已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求证：$f(x)$在实数域上至少有两个不同的实根。
证明：
首先，我们求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$，有：
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4.$$
接下来，我们找出$f'(x)$的零点，即解方程$3x^2 - 6x + 4 = 0$。使用求根公式可得：
$$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{-12}}{6} = \frac{6 \pm 2i\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{i\sqrt{3}}{3}.$$
由于$f'(x)$的零点为复数，说明$f(x)$在实数域上无极值点。
接下来，我们分析$f(x)$在实数域上的符号。由于$f(x)$是一个三次多项式，我们可以通过代入一些特殊的实数来观察其符号。例如，取$x = 0$，则$f(0) = -1$；取$x = 1$，则$f(1) = 1$；取$x = 2$，则$f(2) = 1$。
由于$f(x)$在$x = 0$时为负，在$x = 1$和$x = 2$时为正，根据连续函数的介值定理，$f(x)$在$(0, 1)$和$(1, 2)$区间内至少各有一个实根。
综上所述，$f(x)$在实数域上至少有两个不同的实根。
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