在考研数学中，全微分方程是一个重要的考点。以下是一个经典的例题：
例题：已知函数 \( f(x, y) \) 在 \( \mathbb{R}^2 \) 上具有连续的偏导数，且满足 \( f(x, y) = xy \)。求通过点 \( (1, 2) \) 的全微分方程。
解题步骤：
1. 首先，计算 \( f(x, y) \) 关于 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = y, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x. \]
2. 根据全微分的定义，全微分方程可以表示为：
\[ dy - dx = f_x(x, y)dx + f_y(x, y)dy. \]
3. 将 \( f_x \) 和 \( f_y \) 的表达式代入上述方程，得到：
\[ dy - dx = ydx + xdy. \]
4. 整理方程，得到：
\[ (1 - x)dy = (1 - y)dx. \]
5. 因此，通过点 \( (1, 2) \) 的全微分方程为：
\[ (1 - x)dy = (1 - y)dx. \]
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