在2024年考研数学二中，微分方程大题部分考察了以下几个核心知识点：
1. 一阶微分方程的求解：重点考查了可分离变量微分方程、齐次微分方程、线性微分方程的求解方法。
2. 二阶微分方程的求解：包括常系数线性微分方程、非齐次线性微分方程的求解，特别关注了二阶常系数齐次微分方程的通解和特解的求解。
3. 微分方程的应用：涉及利用微分方程解决几何问题、物理问题等实际应用。
以下是一道具有代表性的微分方程大题示例：
题目：已知函数 \( y = y(x) \) 满足微分方程 \( y'' - 4y' + 4y = e^{2x} \)，且 \( y(0) = 0 \)，\( y'(0) = 1 \)。求 \( y \) 的表达式。
解题步骤：
1. 求解对应的齐次方程：首先求解对应的齐次方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \)，通过特征方程 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \) 得到特征根 \( r_1 = r_2 = 2 \)，因此齐次方程的通解为 \( y_h = (C_1 + C_2x)e^{2x} \)。
2. 求解非齐次方程的特解：由于非齐次项 \( e^{2x} \) 与齐次解形式相同，采用待定系数法求解特解。设特解为 \( y_p = Ax^2e^{2x} \)，代入原方程求解得到 \( A = \frac{1}{2} \)，因此特解为 \( y_p = \frac{1}{2}x^2e^{2x} \)。
3. 求出通解：将齐次解和特解相加，得到 \( y = y_h + y_p = (C_1 + C_2x)e^{2x} + \frac{1}{2}x^2e^{2x} \)。
4. 利用初始条件求常数：根据初始条件 \( y(0) = 0 \)，\( y'(0) = 1 \) 求解常数 \( C_1 \) 和 \( C_2 \)，得到 \( C_1 = 0 \)，\( C_2 = \frac{1}{2} \)。
5. 最终答案：\( y = \frac{1}{2}(x + 1)e^{2x} \)。
考研数学二微分方程大题部分需要考生具备扎实的理论基础和较强的计算能力，通过大量练习，相信同学们能够顺利应对这一挑战。
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