考研数学二2016年21题是一道综合性较强的题目，主要考查了多元函数的偏导数、极限以及二重积分的计算。下面是对该题的详细讲解：
题目：已知函数 \( f(x, y) = x^2y + 2xy^2 + 3y^3 \)，求 \( f(x, y) \) 在点 \( (1, 1) \) 处的偏导数 \( f_x' \) 和 \( f_y' \)，以及 \( \lim_{(x, y) \to (1, 1)} \int_0^1 \int_0^x (f(x, y) - f(1, y)) \, dy \, dx \)。
解答步骤：
1. 求偏导数：
- 对 \( x \) 求偏导：\( f_x' = 2xy + 2y^2 \)。
- 对 \( y \) 求偏导：\( f_y' = x^2 + 4xy + 9y^2 \)。
- 将 \( (1, 1) \) 代入上述偏导数公式，得到 \( f_x'(1, 1) = 4 \) 和 \( f_y'(1, 1) = 14 \)。
2. 计算极限：
- 先计算 \( f(1, y) = 2y + 3y^3 \)。
- 将 \( f(x, y) - f(1, y) \) 代入二重积分中，得到 \( \int_0^1 \int_0^x (x^2y + 2xy^2 + 3y^3 - 2y - 3y^3) \, dy \, dx = \int_0^1 \int_0^x (x^2y + 2xy^2 - 2y) \, dy \, dx \)。
- 对内层积分进行计算，得到 \( \int_0^x (x^2y + xy^2 - y) \, dy = \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \)。
- 对外层积分进行计算，得到 \( \int_0^1 \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right) dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \)。
- 最后，计算极限 \( \lim_{(x, y) \to (1, 1)} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{1}{6} \)。
综上，\( f_x'(1, 1) = 4 \)，\( f_y'(1, 1) = 14 \)，极限值为 \( \frac{1}{6} \)。
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