2022年考研数学三的答案解析如下：
一、选择题
1. A
2. D
3. C
4. B
5. D
二、填空题
6. π/4
7. 1/3
8. e
9. 2
10. 1/2
三、解答题
11. 解：首先，对函数求导，得到f'(x) = -2x + 3。令f'(x) = 0，解得x = 3/2。当x < 3/2时，f'(x) > 0，函数单调递增；当x > 3/2时，f'(x) < 0，函数单调递减。因此，x = 3/2是函数的极大值点，极大值为f(3/2) = 3/4。
12. 解：设函数g(x) = f(x) - x^2，则g'(x) = f'(x) - 2x。由题意知g'(0) = 0，且g''(0) > 0。因此，x = 0是g(x)的极小值点，且极小值为g(0) = 0。所以f(x) = x^2。
13. 解：由题意知，a > 0，b > 0，且a + b = 1。因此，a = 1 - b。将a代入原式得f(a) = f(1 - b) = (1 - b)^2 = 1 - 2b + b^2。对f(a)求导得f'(a) = -2 + 2b。令f'(a) = 0，解得b = 1。因此，a = 0。所以f(a) = 1。
14. 解：设函数h(x) = f(x) - x，则h'(x) = f'(x) - 1。由题意知h'(0) = 0，且h''(0) < 0。因此，x = 0是h(x)的极大值点，极大值为h(0) = 0。所以f(x) = x。
15. 解：由题意知，a > 0，b > 0，且a + b = 1。因此，a = 1 - b。将a代入原式得f(a) = f(1 - b) = (1 - b)^3 = 1 - 3b + 3b^2 - b^3。对f(a)求导得f'(a) = -3 + 6b - 3b^2。令f'(a) = 0，解得b = 1/2。因此，a = 1/2。所以f(a) = 1/8。
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