在备战考研的征途上，数学无疑是关键的一环。以下是一些精选的考研数学题目，助你一臂之力：
1. 设函数 \( f(x) = \frac{1}{x} + \ln x \)，求 \( f(x) \) 的极值。
2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求 \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \)。
3. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = A \)，证明 \( A \) 可逆。
4. 求解微分方程 \( y'' - 3y' + 2y = e^x \)。
5. 设 \( a, b \) 为实数，证明：\( (a + b)^2 \geq 4ab \)。
6. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) 的导数。
7. 已知 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \)，求 \( \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \)。
8. 设 \( A \) 为 \( n \) 阶可逆矩阵，证明 \( A^{-1} \) 也是可逆矩阵。
9. 求解线性方程组 \( \begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x - y = 1 \end{cases} \)。
10. 设 \( f(x) \) 在区间 \([0, 1]\) 上连续，且 \( f(0) = 0, f(1) = 1 \)，证明：存在 \( \xi \in (0, 1) \)，使得 \( f'(\xi) = 2 \)。
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