2020年考研数学一真题答案解析如下：
一、选择题部分
1. 【解析】根据题意，设函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x + 1} \)，则\( f(-1) = 0 \)。由于\( f(x) \)在\( x = -1 \)处连续，故\( \lim_{x \to -1} f(x) = f(-1) = 0 \)。选B。
2. 【解析】根据泰勒公式，\( \sin x \)在\( x = 0 \)处的二阶泰勒展开为\( \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \)。因此，\( \sin \frac{\pi}{3} \)的近似值为\( \frac{\pi}{3} - \frac{(\frac{\pi}{3})^3}{6} \)。选D。
3. 【解析】设矩阵\( A \)的特征值为\( \lambda \)，则\( \det(A) = \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 \)。由题意知，\( A \)的特征值中有一个为0，故\( \det(A) = 0 \)。选C。
4. 【解析】根据积分中值定理，存在\( \xi \in (0, \pi) \)使得\( \int_0^\pi x \sin x \, dx = \pi \sin \xi \)。由于\( \sin x \)在\( (0, \pi) \)上单调递增，故\( \sin \xi \)的取值范围为\( (0, 1] \)。选B。
5. 【解析】根据洛必达法则，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。选A。
二、填空题部分
1. 【解析】由题意，\( \int_0^1 x^2 e^x \, dx \)可以通过分部积分法求解。设\( u = x^2 \)，\( dv = e^x dx \)，则\( du = 2x dx \)，\( v = e^x \)。根据分部积分公式，得\( \int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx \)。再次使用分部积分，最终得到\( \int_0^1 x^2 e^x \, dx = \frac{1}{2} e - 1 \)。填入\( \frac{1}{2} e - 1 \)。
2. 【解析】由题意，\( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x^3} \)可以通过洛必达法则求解。对分子分母同时求导，得\( \lim_{x \to 0} \frac{\sec^2 x - 1}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2}{3x^2} = \frac{2}{3} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty \)。因此，填入\( \infty \)。
三、解答题部分
1. 【解析】根据题意，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)可以通过洛必达法则求解。对分子分母同时求导，得\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \)。因此，\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
2. 【解析】由题意，\( A \)和\( B \)为两个可逆矩阵，则\( AB \)也为可逆矩阵。设\( A^{-1} \)和\( B^{-1} \)分别为\( A \)和\( B \)的逆矩阵，则\( (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} \)。因此，\( (AB)^{-1} \)存在。
3. 【解析】由题意，\( f(x) \)在\( x = a \)处可导，则\( f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)。当\( x \)趋近于\( a \)时，\( \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \)趋近于\( f'(a) \)。
4. 【解析】由题意，\( \int_0^\infty e^{-ax} \, dx \)可以通过换元法求解。令\( u = ax \)，则\( du = a dx \)，\( dx = \frac{du}{a} \)。代入原式，得\( \int_0^\infty e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a} \int_0^\infty e^{-u} \, du = \frac{1}{a} \)。
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