在数学考研的征途上，每一个问题都是对智慧的磨砺。以下是一道典型的数学考研题目及其解析：
题目：设函数 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)，求函数的极值点。
解析：
1. 首先求出函数的一阶导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \]
2. 将一阶导数设为零，解方程 \( f'(x) = 0 \)：
\[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \]
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \]
\[ x = 1 \text{ 或 } x = 3 \]
3. 求出二阶导数 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = 6x - 12 \]
4. 分别将 \( x = 1 \) 和 \( x = 3 \) 代入二阶导数：
\[ f''(1) = 6 \times 1 - 12 = -6 \]
\[ f''(3) = 6 \times 3 - 12 = 6 \]
5. 根据二阶导数检验法，当 \( f''(1) < 0 \) 时，\( x = 1 \) 是极大值点；当 \( f''(3) > 0 \) 时，\( x = 3 \) 是极小值点。
6. 计算极值：
\[ f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 = 4 \]
\[ f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 = 0 \]
结论：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处取得极大值 4，在 \( x = 3 \) 处取得极小值 0。
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