在考研数学中，不等式是常考点，以下是一些常用的不等式及其性质：
1. 均值不等式：对于任意的正数\(a_1, a_2, ..., a_n\)，有
\[
\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}
\]
当且仅当\(a_1 = a_2 = ... = a_n\)时取等号。
2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数序列\(a_1, a_2, ..., a_n\)和\(b_1, b_2, ..., b_n\)，有
\[
(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n)^2
\]
3. 切比雪夫不等式：对于随机变量\(X\)，若\(E(X) = \mu\)，\(D(X) = \sigma^2\)，则对于任意的\(k > 0\)，有
\[
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
\]
4. 拉格朗日中值定理：如果函数\(f(x)\)在闭区间\([a, b]\)上连续，在开区间\((a, b)\)内可导，则存在\(\xi \in (a, b)\)，使得
\[
f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
5. 拉格朗日乘数法：在约束条件\(g(x, y) = 0\)下，若函数\(f(x, y)\)在可行域内存在极值，则存在\(\lambda\)，使得
\[
\nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y)
\]
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