在2014年考研数学二真题中，考生们将面临一系列的挑战，以下是对部分题目的原创答案解析：
1. 选择题：
- 题目：已知函数$f(x) = e^{x^2}$，求$f'(x)$。
- 答案：$f'(x) = 2xe^{x^2}$。
2. 填空题：
- 题目：设$a > 0$，则$\int_0^1 x^a \, dx$的值为______。
- 答案：$\frac{1}{a+1}$。
3. 解答题：
- 题目：求解微分方程$\frac{dy}{dx} = 3xy^2$。
- 答案：通过分离变量法，得到$y^{-2}dy = 3xdx$，积分后得$\frac{1}{y} = \frac{3}{2}x^2 + C$，其中$C$为常数。
4. 证明题：
- 题目：证明$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
- 答案：利用夹逼定理，设$f(x) = \sin x$，$g(x) = x$，则$g(x) \leq f(x) \leq h(x) = x$，当$x \to 0$时，$f(x) \to 0$，故$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。
5. 计算题：
- 题目：计算积分$\int_0^{\pi} x^2 \cos x \, dx$。
- 答案：使用分部积分法，设$u = x^2$，$dv = \cos x \, dx$，则$du = 2x \, dx$，$v = \sin x$，得到$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x \bigg|_0^{\pi} - \int 2x \sin x \, dx$，再次使用分部积分，最终得到$-\pi^2$。
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