在考研数学中，微积分公式是基础中的基础。以下是一些核心的微积分公式：
1. 导数公式：
- 基本导数公式：\( \frac{d}{dx}(c) = 0 \)，\( \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1} \)（\( n \neq 0 \)）
- 三角函数导数：\( \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \)，\( \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \)，\( \frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \)，\( \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \)
- 指数函数导数：\( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)，\( \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a \)（\( a > 0 \)且\( a \neq 1 \)）
2. 积分公式：
- 基本积分公式：\( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)（\( n \neq -1 \)）
- 三角函数积分：\( \int \sin x dx = -\cos x + C \)，\( \int \cos x dx = \sin x + C \)
- 指数函数积分：\( \int e^x dx = e^x + C \)，\( \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \)（\( a > 0 \)且\( a \neq 1 \)）
3. 微分中值定理和积分中值定理：
- 微分中值定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，在开区间\( (a, b) \)内可导，则存在\( \xi \in (a, b) \)，使得\( f'( \xi ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \)
- 积分中值定理：若函数\( f(x) \)在闭区间\[a, b\]上连续，则存在\( \eta \in [a, b] \)，使得\( f(\eta ) \int_a^b x dx = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) dx \)
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